مبرهنة مينِلاوس ، إن في المستوي أو على الكرة . هذا ما يقوم به خاصّةً السِزجي ( النصف الثاني من القرن العاشر ) الذي يعيد ، بطريقةٍ منتظِمةٍ ، كل حالة إلى الحالة الموافقة في المستوي ، في تقليد بطلميوس . 4 - 3 . مبرهنة الجيوب على الكرة ومختلف الصِيَغ المكافئة لها اتّجهت أبحاث علماء الفلك في نهاية القرن العاشر للميلاد نحو استبدال مبرهنة مينِلاوس بعلاقاتٍ في المثلّث الكروي قائم الزاوية تتجنّب اللجوء إلى النسبة المركّبة ؛ ومن هذه العلاقات مبرهنة الجيوب على الكرة . هذه الصيغ ، التي قُدِّمت في إطار رسائل في علم الفلك ، والتي يسهل استخدامها أكثر من استخدام مبرهنة مينِلاوس ، ظهرت منذ بداية القرن العاشر للميلاد . ويرسم البيروني ( 973 - 1048 م ) في مستهلّ رسالته في الهندسة الكرويّة ، " كتاب مقاليد علم الهيئة " ( التي ألّفها بين العامين 973 وَ 1004 م ) « 1 » ، تاريخ اكتشاف هذه الصيغ والخلافات على الأولويّة بين مختلف المؤلّفين . - إسهام النيريزي ( نهاية القرن التاسع - بداية القرن العاشر ) : في شرحه لمؤلّف " المجسطي " لبطلميوس ، يقيم النيريزي صيغةً ليست في الواقع سوى حالة استثنائيّة من حالات المبرهنة العامّة للجيوب على الكرة ، هي حالة المثلّث قائم الزاوية . ويستعيد الخازن وأبو نصر بن عراق هذه الصيغة نفسها من بعده ويعطيان لها برهانين مختلفين . هذه الصيغة هي التالية : القضيّة 1 : لتكن ABE ، AGD ، ZBG ، ZED أقواسٌ من دوائر كبرى ، كلٌّ منها أقلّ من نصف دائرة ، بحيث يكون ZED عموديّاً على AGD وعلى ABE ، ويكون ZBG عموديّاً على AGD ، فيكون : وتنتج عن هذه القضيّة اللازمة التالية : . . .

--> ( 1 ) - م . ت . دوبارنو ، " البيروني ، كتاب مقاليد علم الهيئة ، علم المثلّثات الكروي عند عرب المشرق نهاية القرن العاشر " ، المعهد الفرنسي في دمشق ، دمشق 1985 . M . T . Debarnot , Al - B گ r n گ , Kit و b maq و l گ d ilm al - haya , La trigonometrie spherique chez les arabes de lest a la fin du dixieme siecle , Institut Fran ais de Damas , Damas 1985 .